几何平均数公式，别被平均骗了，这才是投资回报的真实面目

作为一名在注会行业摸爬滚打多年的“老会计”，我见过太多人对数字产生误解，在日常的财务分析、投资评估，甚至是企业经营的决策中，我们太习惯于用一种线性的、简单的思维去看待世界，最典型的例子，就是我们对于“平均数”的执念。

大多数人听到“平均数”，脑子里第一时间跳出来的绝对是“算术平均数”，把所有数字加起来，除以个数，搞定，简单粗暴，小学数学水平，当你把这种思维带到复杂的金融世界和长期的投资生涯中时，你可能会发现自己正在被这个“平均”温柔地欺骗。

我想和大家深聊一个在注会考试中虽然只是一个小考点,但在实务中却能决定你财富命运的概念——几何平均数。

揭开面纱：几何平均数公式到底是什么？

为了不让这篇文章变成枯燥的数学课,我们先把公式摆出来，然后迅速扔进生活的熔炉里去检验它。

几何平均数公式的数学表达是这样的：

$$ GM = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \dots \cdot x_n} $$

或者,在涉及增长率（如投资回报率）时，我们更常用的形式是：

$$ GM = \sqrt[n]{(1+R_1) \cdot (1+R_2) \cdot \dots \cdot (1+R_n)} - 1 $$

这里,$n$ 代表项数，$R$ 代表每一期的收益率。

看着是不是有点眼晕？别急，我们把它翻译成人话，算术平均数关注的是“和”，是加法关系；而几何平均数关注的是“积”，是乘法关系。

为什么这在金融世界里如此重要？

因为财富的增长是复利的,是乘法逻辑，而不是加法逻辑，你今年的本金是去年的本金加上收益，这是一个滚雪球的过程，几何平均数，正是描述这种“滚雪球”平均速度的唯一真实指标，在注会教材的《财务成本管理》中，这通常对应着几何平均收益率，它是我们衡量多期投资绩效最准确的标尺。

那个经典的“50%陷阱”：算术平均数如何撒谎

为了让你深刻体会到两者的区别,我想给你讲一个我经常用来“吓唬”客户或者学员的生活实例。

假设你手里有100万元本金,准备进行为期两年的投资。

第一年，市场大好，你的资产暴涨了 50%。
第二年，市场回调，你的资产跌了 50%。

请闭上眼睛想一想,这两年下来，你的投资业绩是盈是亏？还是不赚不赔？

如果你习惯用算术平均数来思考,你会这样算： $(+50\% + (-50\%)) \div 2 = 0\%$。 “哦，平均收益率是0%，那我应该还是拿回我的100万元本金吧？”

错！大错特错！

让我们回到现实的账户里走一遍：第一年末：100万元 $\times (1 + 50\%) = 150$ 万元，这时候你很开心，觉得自己是股神。第二年末：150万元 $\times (1 - 50\%) = 75$ 万元。

傻眼了吧？明明两年平均涨幅是0%，但你的100万变成了75万，你实实在在地亏损了25%！

这时候,如果我们用几何平均数公式来计算这两年的真实平均回报率，就能看清真相：

$$ GM = \sqrt{(1+50\%) \times (1-50\%)} - 1 = \sqrt{1.5 \times 0.5} - 1 = \sqrt{0.75} - 1 \approx 0.866 - 1 = -13.4\% $$

看,几何平均数告诉你，你这两年的年平均回报率其实是 -13.4%，这才是残酷的现实！

这就是我个人的核心观点： 在评估多期投资表现时，算术平均数是一个充满欺骗性的指标，它掩盖了波动的破坏力；而几何平均数则是那个诚实的管家，它会告诉你真实的复利增长水平，如果你只看算术平均数，你就会误以为高风险的波动只是“过眼云烟”，但实际上，亏损的坑需要更深倍的涨幅才能填平。

CPA视角：为什么我们如此痛恨波动？

作为一名注册会计师,在为企业做估值或者做预算分析时，我深刻理解“波动率”是财富的杀手。

让我们再延伸一下上面的例子,为什么算术平均是0%，几何平均却是负数？因为中间出现了“波动”。

这就引出了一个在投资界非常著名的结论：在算术平均收益率不变的情况下，波动率越大，几何平均收益率（即你的实际到手收益）就越低。

举个更具体的例子,假设你有两个投资策略，期限都是两年，算术平均收益率都是20%。

策略A（稳健型）： 每年都稳稳赚20%。
- 第一年：100 $\times$ 1.2 = 120
- 第二年：120 $\times$ 1.2 = 144
- 几何平均收益率 = $\sqrt{1.2 \times 1.2} - 1 = 20\%$，此时几何平均 = 算术平均。
策略B（过山车型）： 第一年赚60%，第二年亏20%。
- 算术平均：$(60\% + (-20\%)) / 2 = 20\%$，看起来和策略A一样棒！
- 让我们看看实际资产：
- 第一年：100 $\times$ 1.6 = 160
- 第二年：160 $\times$ 0.8 = 128
- 几何平均收益率 = $\sqrt{1.6 \times 0.8} - 1 = \sqrt{1.28} - 1 \approx 13\%$。

看到没有？虽然两个策略的“算术平均”都是诱人的20%，但策略B因为波动剧烈，你实际拿到手的年化复利只有13%左右，两年下来，策略A让你拿回144元，而策略B只有128元。

这对我个人的触动非常大,它解释了为什么很多追求“抓涨停板”的散户，看似经常抓到单日大涨（10%），但只要遇到几次大跌（10%甚至-跌停），他们的长期业绩往往跑赢不了那些闷头买指数基金、看似平淡无奇的投资者。

我的观点是： 几何平均数公式不仅仅是一个计算工具，它是一种世界观，它教导我们，“守成”比“进取”更重要，在复利的世界里，负数的破坏力远大于正数的建设力，为了避免几何平均数的崩塌，我们必须极力控制下行风险。

现实应用：别被财报里的“平均增长”忽悠

跳出个人投资,我们在看企业财报时，也要警惕几何平均数的缺席。

假设你是一家公司的CFO,或者正在分析一家上市公司，你在年报里看到董事长致辞说：“过去三年，公司营收经历了快速增长，平均增长率高达40%！”

你一查数据：

第一年：增长100%
第二年：增长0%
第三年：增长20%

算术平均：$(100\% + 0\% + 20\%) / 3 = 40\%$，董事长没撒谎。

如果你想知道这三年公司真实的复合增长率（CAGR），你就得用几何平均数公式。

假设三年前营收是100：

第一年末：100 $\times$ 2 = 200
第二年末：200 $\times$ 1 = 200
第三年末：200 $\times$ 1.2 = 240

三年从100增长到240,总增长倍数是2.4倍。几何平均增长率（CAGR）= $\sqrt[3]{2.4} - 1 \approx 1.34 - 1 = 34\%$。

虽然34%依然很棒，但比董事长吹嘘的40%要打了个折扣，如果第一年是增长200%，第二年亏损50%，第三年增长10%，算术平均可能依然很高，但几何平均可能惨不忍睹。

作为专业人士，我的建议是： 当你听到“平均增长”这个词时，下意识地问一句：“是算术平均还是几何平均？”这能帮你迅速识别出管理层的粉饰手段，或者发现企业业绩的不稳定性，在商业计划书（BP）中，创业者通常喜欢用算术平均来展示最好的年份，而作为投资人或审计师，我们必须用几何平均数去还原最真实的增长轨迹。