普通年金终值公式推导过程：一看就懂的详细解析

今天咱们聊聊年金终值公式这事儿，说白了，就是你每年存一笔固定的钱，到能有多少钱。这个公式看起来挺吓人，但真推导起来，特别简单，我保证大家一看就明白。

年金是个

得搞清楚年金是年金就是等额、定期的收付款项。比如你每年固定存一万块钱，存五年，这就是年金。我们今天说的这个终值，就是指这五年存的钱，加上利息，到第五年结束时，总共能拿回多少。

从最简单的开始捋

假设我们每年年初都存入一笔钱，金额是 $A$，年利率是 $i$，一共存 $n$ 年。我们得把每一笔钱单独算一遍，看看它能滚多久的雪球。

• 第一年存的 $A$：

这笔钱存进去，一直放到第 $n$ 年结束，它总共滚了 $n$ 个周期（$n$ 年）。根据复利公式，这笔钱到期末的值就是：$A \times (1 + i)^n$。

• 第二年存的 $A$：

这笔钱是从第二年开始存的，它只滚了 $n - 1$ 个周期。所以到期末的值是：$A \times (1 + i)^{n-1}$。

• 第三年存的 $A$：

它滚了 $n - 2$ 个周期，终值是：$A \times (1 + i)^{n-2}$。

• …以此类推，一直到一年存的 $A$：

这笔钱只滚了一个周期（一年），终值是：$A \times (1 + i)^1$。

把所有钱加起来

年金终值 $(FV_n)$，就是把上面所有单独的终值加起来。咱们把它写成一个求和的形式：

$$FV_n = A(1+i)^n + A(1+i)^{n-1} + A(1+i)^{n-2} + \dots + A(1+i)^1$$

为了让它看起来更顺眼，咱们把 $A$ 提出来，并且把顺序倒过来写：

$$FV_n = A \times \left[ (1+i)^1 + (1+i)^2 + \dots + (1+i)^{n-1} + (1+i)^n \right]$$

注意看方括号里这堆东西！ 这是个这不就是个等比数列求和吗？

等比数列求和

学过初中数学的都记得那个公式：一个等比数列，首项是 $a_1$，公比是 $q$，项数是 $n$ 的话，求和 $S_n$ 的公式是：

$$S_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}$$

回到我们年金终值的方括号里：

• 首项 $a_1$ 是 $ (1+i)^1 $
• 公比 $q$ 也是 $ (1+i) $
• 项数 $n$ 不变

咱们现在直接套用等比数列求和公式（用 $q$ 表示 $1+i$ 看起来更清爽）：

$$\text{和} = q \times \frac{q^n - 1}{q - 1}$$

（这里我把分子分母都乘了个 -1，让数字好看点，因为 $q$ 肯定大于 1）

替换回去，大功告成

现在把 $q$ 换回 $(1+i)$：

• $$q = (1+i)$$
• $$q - 1 = (1+i) - 1 = i$$

方括号里面的和就是：

$$\text{和} = (1+i) \times \frac{(1+i)^n - 1}{i}$$

最终的年金终值公式就出来了：

$$FV_n = A \times \left[ (1+i) \frac{(1+i)^n - 1}{i} \right]$$

终值系数是

大家平时看到的公式，那个大方括号里的那一坨，就是年金终值系数，它表示单位金额 $A$ 在 $n$ 期内能滚出的总价值。只要查表或者用计算器把这个系数算出来，乘以你每年存入的金额 $A$，就是最终的钱数了。

你看，咱们没有用什么复杂的金融术语，就是把每一笔钱的复利终值一个个算出来，然后发现它们构成了一个等比数列，利用数学方法一求和，公式自然就出来了。所以说，这玩意儿根本不神秘，数学基础知识够用，自己都能推出来。